Fractales, tissus urbains et aménagement – quelques précisions

Pierre Frankhauser, en répondant point par point au billet de Cécile Tannier du 12 mars, complète sa discussion et apporte d’autres éléments au débat:

Les tissus urbains sont-ils fractals ? Existe-t-il un processus général qui génère des tissus urbains fractals ? Les modèles fractals sont-ils utiles dans le contexte d’aménagement ? Ces questions, récemment posées, incitent à rappeler que cette approche, par ses propriétés intrinsèques, permet d’introduire une lecture différente de l’organisation spatiale des villes et de contribuer autrement au débat sur l’existence ou non de « lois » ou de l’utilité de « normes » dans ce contexte.

Dans les recherches sur la structuration des espaces urbains le recours à la géométrie fractale sert, comme dans d’autres domaines, à explorer l’agencement d’éléments constitutifs d’une structure à travers les échelles, ce qui n’est pas considéré par la géométrie euclidienne. En se focalisant sur le principe d’emboitement d’échelle, elle permet de comparer directement des structures empiriques peu régulières à des structures théoriques construites à travers la loi de distribution associée, la loi hyperbolique. Il est ainsi possible à la fois de développer des modèles graphiques et d’explorer la structure spatiale des tissus urbains et des réseaux sous l’aspect de la position relative de leurs éléments constitutifs.

Des modèles graphiques ont été utilisés à travers les siècles et par maintes disciplines travaillant sur la ville, souvent en se référant à des figures comme le cercle ou l’hexagone. Citons comme exemples les modèles de Burgess et Hoyt de l’Ecole de Chicago, divers modèles d’économie urbaine, des modèles d’aménagement entre Howard et Eberstadt-Möhring-Petersen ou Christaller. Toutefois les villes ne sont ni circulaires ni carrées, sauf si elles sont le résultat d’une décision volontariste, comme les villes romaines, certaines bastides ou des villes comme Aigues Mortes. Un modèle graphique sert, comme chaque modèle, à illustrer de façon simplifiée certains aspects de l’objet étudié. C’est dans un tel esprit que des fractales construites ont été utilisées pour illustrer certaines caractéristiques des structures étudiées (par exemple Batty et Longley (1994), Frankhauser (1994), Thomas et al (2008), Chen (2013)) en se focalisant sur une lecture trans-échelles et il n’est pas surprenant que les tissus urbains ne soient pas fractals dans le sens strict du terme.

Le comportement scalant, un principe d’ordre dominant

En effet, comme l’a déjà précisé Mandelbrot en parlant de « préfractales », toute structure réelle ne peut montrer que dans une fourchette limitée d’échelles des comportements de ce type ou bien même changer à certaines échelles. Ni les arbres, ni les alvéoles ou les structures ferromagnétiques ne sont fractals…et néanmoins, cette approche s’est avérée utile dans une grande variété de disciplines. Il serait certainement plus utile de parler de comportement scalant. Si toutes les villes ou quartiers de villes montraient dans une fourchette limitée une organisation spatiale scalante, alors on serait bien en mesure d’affirmer qu’il s’agit d’un phénomène d’ordre général du type « loi » pour une fourchette d’échelles restreinte. Mais, même dans ce cas, le fait de la présence d’un type d’organisation spatiale « dominant » ne voudrait pas dire que les valeurs des dimensions ou d’autres caractéristiques associées soient identiques pour toutes les villes. Cela est pareil dans d’autres disciplines. Pour des arbres ou leur système de racines, la « fractalité » dépendra de différents facteurs et ceci même pour une seule espèce, cependant le caractère scalant est toujours présent (Zeide et Gresham (1991), Oppelt et al. (2000)).

Pour les tissus urbains la situation est similaire. Une analyse fine du comportement scalant permet de distinguer différents types d’urbanisation selon le contexte historique (Thomas et al (2008, 2010, 2011)). Ceci ne retranche rien au fait que les analyses des tissus urbains réalisées par bon nombre de chercheurs montrent que l’approche fractale est un modèle relativement stable pour les caractériser dans une fourchette réaliste (Batty et Longley (1994), Frankhauser (1994), Shen (2002), Qin and Liu (2004), Tannier and Pumain (2005)). Dans un nombre important de cas la qualité d’ajustement des courbes fractales reste très élevée (Thomas et al 2008, 2011). Des tests ont montré que cette qualité d’ajustement reste d’ailleurs bonne, même si l’estimation se fait à partir des incréments et non sur les données cumulées, question parfois soulevée. Rappelons en outre qu’une structure constituée de différentes fractales est elle-même une fractale. Si les quartiers d’une agglomération peuvent être décrits par des dimensions fractales différentes, l’ensemble serait toujours conforme à une logique fractale pour la fourchette d’échelles en question.

Cependant il serait prétentieux de vouloir prétendre que cet « ordre scalant » est présent dans tous les tissus urbains à tout moment. D’un point de vue de la théorie de la complexité on devrait plutôt parler d’un type d’organisation particulier, d’un état d’ordre tel qu’une « phase » qui se développe assez souvent, mais qui peut être stable ou non, selon certaines circonstances. Ainsi la croissance urbaine peut aussi modifier le caractère scalant d’un tissu urbain comme le montre l’analyse multifractale de Beijing (Chen (2013)).

S’intéresser aux processus génératifs du comportement scalant des tissus urbains

Il paraît peu probable que la croissance urbaine suive une simple logique d’itération. Différents processus de densification multi-échelles, ou une croissance différente de certaines partie d’une agglomération, l’ajout d’axes d’urbanisation peuvent changer l’organisation spatiale au fil du temps, ce qui ne serait d’ailleurs pas contraire à une organisation scalante finale (cf. Benguigui et al. (2000)). Pour certaines agglomérations il a été montré que l’organisation spatiale correspond de plus en plus à une logique scalante au fil de l’urbanisation et cela a été mis en évidence par un paramètre d’ordre (Frankhauser (2000)). Ce qui veut dire que l’ajout de bâtiments se fait alors selon un certain mode de croissance. L’exemple de Montbéliard, présenté dans Frankhauser (2000) montre cependant que la structuration d’un espace peut au fil de l’urbanisation être dominée par une activité particulière, par exemple industrielle, qui s’inscrit dans l’espace et qui modifie le comportement scalant de certains secteurs de l’agglomération.

Sans vouloir prétendre que ceci soit le cas, il serait d’ailleurs possible de modéliser une croissance « fractale » en introduisant un étalement d’une agglomération conforme à une logique itérative, tout en admettant que les périphéries des taches urbaines existantes deviennent plus compactes. Il s’agirait alors plutôt d’un modèle de croissance allométrique. C’est dans ce sens qu’on doit aussi voir le modèle « général » introduit par Schweitzer et Steinbrink (2002).

La conclusion de Chen (2013) selon laquelle la croissance moins contrôlée des espaces périphériques génère des tissus plus complexes, paraît bien plausible. Une fourchette de dimensions multifractales plus large est mathématiquement en effet un indice que l’organisation spatiale est plus complexe. Dans une analyse multifractale de Besançon non publiée, il s’est avéré que les fourchettes de dimensions étaient assez étroites pour le centre-ville et le quartier Corbuséen de Planoise, et que la fourchette de dimension était plus large pour la première couronne. Ces quartiers sont un mélange de divers types de bâtiments construits à des périodes d’urbanisation différentes.

L’approche fractale étant morpho-descriptive, elle ne donne pas d’interprétation directe sur l’émergence de formes observées. En biologie il a été possible de trouver une explication à travers des codes génétiques et en physique l’émergence de structures « fractales » a pu être expliquée par des lois de la physique. On a également modélisé l’émergence des tissus urbains d’abord à travers des modèles morpho-dynamiques descriptifs (Batty 1991) et ensuite en cherchant des explications pour l’émergence de ce type de forme. Batty et Kim (1992) et Batty et Longley (1994) ont ainsi rappelé que beaucoup d’éléments constitutifs de la ville tels que le réseau routier, l’organisation des services s’inscrivent dans une logique de hiérarchisation et en ont conclu « cities show all the properties of fractal ». White, Engelen et Ulje (2015) donnent des arguments semblables et en concluent « a city is fractal in several respects ».

En allant plus loin, on cherchera à trouver des raisons pour une croissance, d’ailleurs « fractale » ou non, à travers des processus socio-économiques susceptibles de contribuer à un certain mode de croissance. Il s’agit donc de trouver des raisons pour l’émergence d’une structure « macroscopique » suite à des interactions entre divers acteurs publics et privés. C’est dans ce sens que doivent être interprétés les approches de Salingaros (1999), Frankhauser (1994) ou Schweitzer et Steinbrink (2002). Dans leur modèle d’automates cellulaires White et Engelen (1993) se servent également de règles qui s’expliquent par des effets répulsifs de certains espaces.

Fractales, optimisation et normativité

La question de savoir si une organisation fractale correspond à un principe d’optimisation, n’est pas une question métaphysique. On optimise, quoi que ce soit, par rapport à un objectif ou une contrainte, en économie par exemple par rapport à une contrainte budgétaire, en physique par rapport à une condition donnée. Ainsi une approche déductive, basée sur l’économie urbaine, appliquée à un modèle fractal d’une agglomération, a permis d’explorer le lien entre les préférences de ménages pour différents types d’aménités, les frais de déplacement et la rente foncière (Cavailhès et al (2004)). Une ville entièrement compacte et dense satisferait certainement des ménages qui ne cherchent aucune aménité verte et qui ne sont pas gênés par des îlots de chaleur. Dans des systèmes biologiques un comportement scalant semble avantageux là où il faut articuler de façon efficace deux systèmes spatiaux en maximisant leur surface de contact tel que c’est le cas pour les arbres ou les alvéoles pulmonaires. Ce sont les propriétés mathématiques qui ont inspiré la mise en place de concepts d’aménagement fractals (Frankhauser et al (2011, 2018)). La forte articulation de zones bâties et de zones vertes permet de préserver un système connecté de zones vertes facilement accessibles et entrant en ville. Ce système évite le morcellement des zones vertes et préserve des couloirs de ventilation des centres urbains. S’ajoute l’objectif de rendre accessible des aménités urbaines et de loisir en tenant compte de leur fréquentation et des besoins des résidents selon une logique hiérarchique qui s’inspire de la théorie des lieux centraux. Alors certaines valeurs de dimension fractales sont susceptibles de mieux répondre que d’autres à certains objectifs d’aménagement.

Il serait donc tout-à-fait possible d’utiliser des mesures fractales afin de faire respecter certains objectifs du développement urbain au même titre que d’autres normes utilisées pour réguler l’urbanisation, souvent basées sur la notion de densité. Ces mesures donnent des limites tout en laissant une certaine liberté dans le détail ce qui vaut aussi pour la dimension fractale. Il existe une infinité de configurations spatiales qui correspondent à une même dimension fractale. Elle pourrait ainsi compléter des mesures existantes en ajoutant une information trans-échelle non prise en compte actuellement pour transcrire les aspects hiérarchiques cités. Afin d’assurer un maximum de contiguïté des zones vertes et d’éviter leur morcellement, des indicateurs complémentaires, basés sur une approche topologique, pourraient s’avérer utiles.

La vertu esthétique des fractales

La géographie ne s’intéresse que peu à l’esthétique – en urbanisme et, a fortiori, en architecture, ceci est déjà différent. En urbanisme, l’esthétique a toujours joué un rôle et y trouve également des références à des objets divers, tel que le plan en éventail de Karlsruhe (18e siècle) ou bien d’autres. Parfois des objets naturels servent de référence comme montre l’exemple du plan en feuille de palme pour Hambourg de Schumacher. Si Jiang et Sui (2014) essaient d’établir un lien entre la géométrie fractale et l’esthétique, il faut souligner que cette question a été posée dès les années 1990 dans le contexte de l’architecture (Bechhoefer et Bovill (1994), Bovill (1996)), par exemple concernant des plans de Frank Lloyd Wright ou Le Corbusier (Ostwald (2008, 2013)). On peut supposer que les concepteurs de ces plans poursuivaient un certain objectif esthétique.

La question : dans quelle mesure des structures fractales correspondent à des critères esthétiques ? a été posée dès les premiers travaux sur le fractales souvent de façon plutôt intuitive (Peitgen et Richter (1986)). Certains auteurs ont prétendu que des graphiques simulés sont perçus comme esthétiquement particulièrement satisfaisants si leur dimension fractale correspond à certaines valeurs (Draves et al (2008)). Lorentz et al (2017) se sont montrés dubitatifs quant à ces résultats, mais n’excluent pas qu’un comportement scalant puisse jouer un rôle non négligeable dans la théorie esthétique et soulignent le lien entre la dimension fractale et le nombre d’or utilisé, par exemple, par Le Corbusier. D’autres travaux ont montré que des images fractales réduisent le stress (Taylor (2006)).

Conclusion

Par ses propriétés intrinsèques la géométrie fractale ouvre la porte à une lecture trans-échelles de structures spatiales. En outre elle établit un lien direct entre la construction d’objets géométriques et une loi statistique ce qui la distingue de la géométrie euclidienne. L’application de ce concept qui repose sur un principe d’emboitement d’échelles simple, a permis de mieux saisir la morphologie des tissus urbains qui sont souvent perçus comme sans forme précise. Ainsi il est possible de réfléchir de façon différente à l’organisation spatiale des villes à la fois dans leur comparabilité et leur diversité, ce qui n’est pas contradictoire. Les propriétés mathématiques des fractales ont aussi un intérêt dans le contexte de la structuration des zones métropolitaines dans le but de concilier l’urbanisation, la qualité de vie et l’écologie. Citons Mike Batty en guise de conclusion « form follows function » (Batty et Kim, (1992), Batty (1994)).

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